Question

这个是什么函数？

Answer 1

这不是函数，这是个定积分

Answer 2

伽玛函数（Gamma函数），也叫欧拉第二积分，是阶乘函数在实数与复数上扩展的一类函数。该函数在分析学、概率论、偏微分方程和组合数学中有重要的应用。与之有密切联系的函数是贝塔函数，也叫第一类欧拉积分，可以用来快速计算同伽马函数形式相类似的积分。
伽马函数的推导
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对1/(1-x)进行离散与连续展开，有
1/(1-x)
=∑x^k
=∫e^-(1-x)tdt
=∫e^-t∑(xt)^k/k!dt
=∑(∫e^(-t)t^kdt)x^k/k!
对比系数有k!=∫e^(-t)t^kdt
x在收敛域(-1，1)内，求和积分均在0到+∞
最后的积分中我们可以让k取任意实数，这样我们就把阶乘延拓到实数集中了