Question

求函数f(x)=x^2ln(1+x)在x=0处的n阶导数f(n)(0)（n>=3）

答案解析是把ln(1+x)进行泰勒展开代入原式得f(x)=x^2[x-x^2/2+...+ (-1)^(n-1) (x^(n-2))/(n-2)+0(x^(n-1))] =x^3-(x^4)/2+...+(-1)^(n-1) (x^n)/(n-2) +o(x^n)令f(n)(0)/n！=(-1)^(n-1) 1/(n-2),f(n)(0)=n！(-1)^(n-1) n！/(n-2) 问题：在ln(1+x)泰勒展开中... 答案解析是把ln(1+x)进行泰勒展开代入原式得f(x)=x^2[x-x^2/2+...+ (-1)^(n-1) (x^(n-2))/(n-2)+0(x^(n-1))] =x^3-(x^4)/2+...+(-1)^(n-1) (x^n)/(n-2) +o(x^n)令f(n)(0)/n！=(-1)^(n-1) 1/(n-2),f(n)(0)=n！(-1)^(n-1) n！/(n-2) 问题：在ln(1+x)泰勒展开中为什么要展开到第n-2项，而且（-1）的系数为什么不是n-3而是n-1 展开 在ln(1+x)泰勒展开中展开到第n-2项是因为前面有x^2,要使 f(x)凑出x^n吗？

Answer 1

简单分析一下，答案如图所示

Answer 2

你说的正确，求f(x)的n阶导数时需要知道泰勒展开的n次项的系数，因为前面有x^2，后面就展开到n-2次以凑出x^n。另外(-1)^(n-3)=(-1)^(n-1)，两写法没什么不同。
这个题也可以用求高阶导数的牛顿莱布尼兹公式计算（即乘积uv的n阶导数公式计算）。请采纳，谢谢！