Question

高数作业，第七题，求详细解释，拍下来最好

Answer 1

(sinx-tanx)^2=[tanx(cosx-1)]^2 ~ 1/4*x^6

e^sinx-e^tanx=e^tanx[e^(sinx-tanx)-1] ~ sinx-tanx ~ x^3
注：x ，sinx , cosx ,tanx ......任意两者之差为x的3阶无穷小。
所以答案为2.
另外也可以根据定义lim(sinx-tanx)^2/(e^sinx-e^tanx)^k求极限为某数时候的k值，也为2.

追问

e^tanx[e^(sinx-tanx)-1] ~ sinx-tanx 怎么来的？

追答

e^x-1 ~ x (x->0)
e^tanx直接带入x=0就行了，为1

追问

……还是不明白，哦还有，那个注的意思是和x等价无穷小的两个数相减结果就是x的三阶无穷小么？这个结论可以直接用么？

追答

这个结论可以直接用。e^(sinx-tanx)-1你把sinx-tanx看成e^x-1 ~ x (x->0)中的x就知道怎么用等价无穷小 了。（把cosx去掉）

Answer 2

taylor公式解
esinx-etanx=sinx-tanx
将两个式子相除可得|sinx-tanx|
=|x-x^3/6-x-x^3/3|=|x^3/2|

追问

泰勒公式还没学……