Question

已知θ为正锐角，求证sinθ+cosθ<π/2

Answer 1

sinθ+cosθ=√2(sinθ*√2/2+cosθ*√2/2)
又因为有sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ,且sin45=cos45=√2/2
所以sinθ*√2/2+cosθ*√2/2=sinθ*cos45+cosθ*sin45=sin(θ+45°)
所以sinθ+cosθ=√2(sinθ*√2/2+cosθ*√2/2)=√2sin(θ+45°)得证
原题中，sinθ+cosθ=√2sin(θ+45°)，且sin(θ+45°)小于等于1，所以√2sin(θ+45°)小于等于√2，又因为√2小于1.5且π/2约等于3.14/2大于1.5，所以sinθ+cosθ<π/2
原式得证。