Question

设函数f（x）=ax-（1+a）x,其中a＞0,区间I=｛x|f（x）＞0｝ （1）

设函数f（x）=ax-（1+a）x,其中a＞0,区间I=｛x|f（x）＞0｝ （1）求区间I的长度 （注:区间（α，β）的长度定义为β-α） （2）给定常数k∈（0，1），当a∈[1-k,1+k]时，求l长度的最小值

Answer 1

(1) 令 f(x)=ax-（1+a²）x²= -x[(1+a²)x-a]=0,

得 x=0 或 x=a/(1+a²)
因为 a＞0，-(1+a²)＜0
所以 I={x|0＜x＜a/(1+a²)}

其长度为 a/(1+a²)
(2) 长度 a/(1+a²)=1/(a+1/a)≤1/[2√(a·1/a)]=1/2
当 a=1/a 即 a=1 时长度最大为1/2，所以a/(1+a²)在(0,1)单调增，在(1,+∞)单调减，
而当k ∈（0，1）时，1-k＜1 而 1+k＞1，
所以a/(1+a²)在 a=1-k 或 a=1+k 取得最小值。
又 (1-k)/[1+(1-k)²]- (1+k)/[1+(1+k)²]= -3k³/{[1+(1-k)²]·[1+(1+k)²]}＜0
所以 I 长度的最小值为 (1-k)/[1+(1-k)²]
希望对你能有所帮助。

追问

我的天呀。。有些我看不懂呀。。