Question

如图,点I是三角形ABC的内心,AI的延长线交边BC于

点I是三角形ABC的内心，AI的延长线交边BC于D，交三角形ABC外接圆于点E（1）求证IE等于BE（2）若IE+4 AE+8 求DE的长

Answer 1

已知i是三角形abc的内心，故∠iab=∠iac,
∠iba=∠ibc.
又∠cbe=∠cae(圆周角相等)，故∠cbe=∠iab.
又因∠ebi=∠cbe+∠ibc,
∠eib=∠iab+∠iba,
故∠ebi=∠eib,
从而证得：ie=be。
已证∠dbe=∠bae,
∠deb为共同角，故△dbe∽△bae.得de/be=be/ae,
所以:de=be²/ae=4²/8=2。

Answer 2

解：（1）∵∠BAD=∠ECD，∠ABD=∠CED，
∴△ABD∽△CED，
∴ CD:AD=CE:AB，
∴CD=3．

证明：（2）连接IB．
∵点I是△ABC的内心，
∴∠BAD=∠CAD，∠ABI=∠CBI，
∴弧BE=弧CE，则BE=CE，
∴∠BIE=∠BAD+∠ABI=∠IBD+∠CAD=∠IBD+∠CBE=∠IBE，
∴IE=BE，