Question

一元高次方程 根的个数

x^4-2x^3-35=0，请问有几个解？求解答过程。谢谢！

Answer 1

答：
是要分类。
先求导。设f(x)=x^3+3x^2-9x-a
有f'(x)=3x^2+6x-9
当f'(x)=0时，3x^2+6x-9=0
解得x1=-3,x2=1
当x<-3时，f'(x)>0,当-3<x<1时，f'(x)<0,当x>1时f'(x)>0
可知函数在(-∞,-3]递增，在(-3,1]递减，在(1,+∞)递增。
f(-3)=27-a为极大值，f(1)=-5-a为极小值。
当27-a<0或-5-a>0时，原方程只有1个实根。解得a>27或a<-5
当27-a=0或-5-a=0时，原方程有2个实根。解得a=27或a=-5
当27-a>0且-5-a<0时，原方程有3个实根。解得-5<a<27
综上所述：
当a>27或a<-5时，原方程只有1个实根；
当a=27或a=-5时，原方程有2个实根；
当-5<a<27时，原方程有3个实根。

Answer 2

由代数基本定理，一元n次方程都有n个复数根。
具体到这题，它有2个实根，2个复根，共4个根。
具体的解可以用公式法：
X1=3.13545048979346
X2=-2.05182016742097
X3=0.458184838813755-2.28701579207698i
X4=0.458184838813755+2.28701579207698i