设f‘(x)在[a,b]上连续,且f(a)=0,证明:|∫b a f(x)dx|...
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设g(x)
=
∫
f(t)dt,则g'(x)
=
f(x),g"(x)
=
f'(x).
g(x)在[a,b]二阶连续可导,且g(a)
=
0,g'(a)
=
f(a)
=
0.
由带Lagrange余项的Taylor展开,存在c∈(a,b)使
g(b)
=
g(a)+g'(a)(b-a)+g"(c)(b-a)²/2
=
f'(c)(b-a)²/2.
即有|
∫
f(t)dt|
=
|g(b)|
=
|f'(c)|·(b-a)²/2
≤
max{|f'(x)|}·(b-a)²/2.
=
∫
f(t)dt,则g'(x)
=
f(x),g"(x)
=
f'(x).
g(x)在[a,b]二阶连续可导,且g(a)
=
0,g'(a)
=
f(a)
=
0.
由带Lagrange余项的Taylor展开,存在c∈(a,b)使
g(b)
=
g(a)+g'(a)(b-a)+g"(c)(b-a)²/2
=
f'(c)(b-a)²/2.
即有|
∫
f(t)dt|
=
|g(b)|
=
|f'(c)|·(b-a)²/2
≤
max{|f'(x)|}·(b-a)²/2.
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