Question

已知x,y为非负实数且x^2 +y^2 =4,则

p=xy-4(x+y)+10的最值情况是？

Answer 1

令x+y=t
则t^2-2xy=4
xy=(t^2-4)/2
首先我们关注t的范围,有多种方法
1.三角代换
令x=2cosα
y=2sinα
α∈[0,∏/2]
t=2(sinα+cosα)
∴2≤t≤2sqrt(2)
2.x^2+y^2=4
x≥0
y≥0可以看做一个1/4圆，t=x+y要与圆有交点，同样可以得到2≤t≤2sqrt(2)
然后我们关注u=xy-4(x+y)+10=(t^2-4)/2-4t+10=1/2t^2-4t+8的最值
很好办
u=1/2(t-4)^2
∵2≤t≤2sqrt(2)
∴12-8sqrt(2)≤u≤2