Question

f(x)/x²的极限等于-2 f(0)

1.设f'（x0）存在,求△x→0时[f(x0+△x)-f(x0-2△x)]/2△x的极限.
2.设f(x)在x=2处连续,且x→2时,f(x)/(x-2)的极限等于2,求f'(2)

Answer 1

f'(x)/f(x) = 1/x

(ln f(x) - ln x) ' = 0

ln( f(x)/x) = C

f(x)/x = C

f(x) = C x

求极限基本方法有：

1、分式中，分子分母同除以最高次，化无穷大为无穷小计算，无穷小直接以0代入。

2、无穷大根式减去无穷大根式时，分子有理化。

3、运用洛必达法则，但是洛必达法则的运用条件是化成无穷大比无穷大，或无穷小比无穷小，分子分母还必须是连续可导函数。

Answer 2

1.设f'（x0）存在,求△x→0时[f(x0+△x)-f(x0-2△x)]/2△x的极限.
原式=[f(x0+△x)-f(x0)]+[f(x0)-f(x0-2△x)/2△x
=[f(x0+△x)-f(x0)]/2△x-[f(x0)-f(x0-2△x)/-2△x
=f'（x0）/2-f'（x0）
=-f'（x0）/2
2.设f(x)在x=2处连续,且x→2时,f(x)/(x-2)的极限等于2,求f'(2)
当x→2时,x-2→0,而上述极限存在,所以f(2)=0
所以f'(2)=[f(x)-f(2)]/(x-2)=2