Question

已知过球面上三点A、B、C的截面到球心的距离等于球半径的一半

,且AB=18,BC=24，AC=30，求球的表面积和体积。圆心与直角三角形的中心的连线我想不出来。还请多麻烦说明一下。

Answer 1

首先任何平面对于球体的截面都是圆形，而且截面到球心的距离d、圆形截面的半径r和整个球体的半径R满足勾股定理的关系R²=r²+d²。这个应该是书上的定理，我记得我高中学立体几何有这个定理。如果楼主对这个不清楚，可以追问一下我，目前不做详细解释。
这道题无论求面积还是体积，只要求出整个球体半径R就全都出来了，球半径R可以通过上面的公式R²=r²+d²，现在所有问题都落在了如何求截面圆半径r上。
这就是个平面几何问题了，圆周上的三个点ABC构成AC=BC=6，AB=4的三角形，求圆半径。我想到可以用正弦定理BC/sinA=2r来做（当然可以有别的方法），就是算一个角的sin值，再用对边边长除以这个sin值就是直径长度2r。这是个等腰三角形，比较好办，从C往AB做一个高CD，就同时是中线，AD=BD=2，这样CD=√(AC²-AD²)=√32=4√2
所以sin值sinA=CD/AC=(2√2)/3
于是2r=BC/sinA=(9√2)/2所以r=(9√2)/4
于是用R²=r²+d²把d=R/2、r=(9√2)/4代入，算出R²=81/8+R²/4，R²=27/2，R=3√(3/2)=3/2倍的√6就是那个答案。计算过程都是根式，容易出错，楼主可以自己验算一下。
求采纳为满意回答。

Answer 2

由勾股定理知ABC三点构成直角三角形，圆心到截面的最短距离的连线应该是到斜边的中点就是AC的中点