Question

已知函数y=f（x）是R上的偶函数，对于x∈R都有f（x+6）=f（x）+f（3...

已知函数y=f（x）是R上的偶函数，对于x∈R都有f（x+6）=f（x）+f（3）成立，且f（-6）=-2，当x1，x2∈[0，3]且x1≠x2时，都有f(x1)-f(x2)x1-x2＞0，则给出下列命题： ①f（2010）=-2； ②函数y=f（x）图象的一条对称轴为直线x=-6； ③函数y=f（x）在[-9，-6]上为减函数； ④函数f（x）在[-9，9]上有4个零点，上述命题中的所有正确命题的序号是_____．（把你认为正确命题的序号都填上）

Answer 1

①②③④
解：对于①，先令x=-3，即有f（3）=f（-3）+f（3），f（-3）=0，
再依据函数y=f（x）是R上的偶函数，有f（-3）=f（3），得f（3）=0，
这样f（x+6）=f（x）+f（3）=f（x）函数f（x）的周期就是6，
因此f（2010）=f（335×6）=f（0）=f（-6）=-2；
对于②，∵f（x+6）=f（x）+f（3），
又∵f（-x+6）=f（-x）+f（3），且f（-x）=f（x）
∴f（6+x）=f（6-x）
∴直线x=6是函数y=f（x）的图象的一条对称轴，故②对；
对于③，首先根据：当x1，x2∈[0，3]且x1≠x2时，都有f(x1)-f(x2)x1-x2＞0，
说明函数在区间[0，3]上是增函数，再结合函数的周期为6，
将区间[0，3]右移6个单位，可得函数在[6，9]上为增函数
又∵函数为偶函数，在关于原点对称的区间上单调性相反
∴函数y=f（x）在[-9，-6]上为减函数，可得③正确；
对于④，根据①的结论，f（-3）=f（3）=0，再结合函数周期为6
得f（-9）=f（-3）=f（3）=f（9）=0，
再根据在某个区间上的单调函数在这个区间内至多有一个零点，
得函数f（x）在[-9，9]上只有以上4个零点，所以④正确．
故答案为①②③④．