Question

已知直线L:mx-(m^2+1)y-4m=0(m∈R)和圆C:x^2+y^2-8...

已知直线L:mx-(m^2+1)y-4m=0(m∈R)和圆C:x^2+y^2-8x+4y+16=0 (1)证明直线L恒过定点,并求定点坐标 (2)判断直线L与圆C的位置关系 动圆P过定点F(1,0)且与直线x=-1相切,圆心P的轨迹为曲线C,过F作曲线C两条互相垂直的弦AB,CD,设AB,CD的中点分别为M,N (1)求曲线C的方程

Answer 1

(1)观察可知该定点为(4,0)将(4,0)代入直线方程显然满足所以直线L恒过定点(4,0)(2)x^2+y^2-8x+4y+16=0(x-4)^2+(y+2)^2=4所以圆心为(4,-2),半径为2显然(4,0)所以(4,0)在圆上,且是x轴与该圆的交点直线L的斜率为m/(m^2+1),所以当m=0时,直线L与圆C相切当m≠0时,直线L与圆C相交圆心P到定点F(1,0)的距离和到直线x=-1的距离相等,所以P在以F(1,0)为焦点直线x=-1为准线的抛物线上可设曲线C的方程为y²=2pxp/2=1p=2所以曲线C的方程为y²=4x