Question

△abc中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知cosA=-1/3,cosC=√2sinB（

1）求sinC的值（2）若a=√2,求△ABC

Answer 1

⑴∵cosA=2/3，∴sinA=√5/3
又sinB=sin(180 º-A-C)=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC
=√5/3cosC+2/3sinC=√5cosC
∴2/3sinC=2√5/3cosC
∴tanC=sinC/cosC=√5.

⑵过B作BD⊥AC于D，∵∠A,∠C均为锐角，∴BD在三角形内部。
∵tanC=BD/DC=√5，∴BD=√5DC. 由勾股定理有DC²+BD²=BC²
∴DC²+(√5DC)²=(√2)²,得DC=√3/3，∴BD=√15/3。
则sinC=BD/BC=√15/3√2
又BD/AD=tanA=sinA/cosA=√5/3
∴AD=BD/tanA=2√3/3,则AC=AD+DC=2√3/3+√3/3=√3
∴SΔ= ½·BC·AC·sinC= ½×√2×√3×√15/3√2=√5/2。