Question

已知x²-3x+1=0，求分式x^7+7x^4+x/x^8+3x^4+1的值

已知x²-3x+1=0，求分式x^7+7x^4+x/x^8+3x^4+1的值。
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Answer 1

解：
由 x²-3x+1 =0，得 x²+1 = 3x
明显，x≠0，等式两边可以同时除以 x，得 x +1/x =3 ①
两边平方，得 x²+2+1/x² =9，即 x²+1/x² =7 ②
②两边再平方，得 x^4+2+1/x^4 = 49，即 x^4+1/x^4 = 47 ③
①×②，得 x³+1/x +x +1/x³ = 21，即 x³+3+1/x³ =21
所以 x³+1/x³ =18 ④
根据 ①②③④ 可以计算给出的分式
为方便，先计算分式的分子部分，有
x^7+7x^4+x

= x^4 (x^7+7x^4+x) / x^4
= x^4 (x^3+7+1/x^3)
= x^4 (18+7)
= 25x^4
同样的，分母部分为
x^8+3x^4+1
= x^4 (x^8+3x^4+1)/x^4
= x^4 (x^4 +3+1/x^4)
= x^4 (47+3)
= 50x^4
由此，可得
原式
= 25x^4 / (50x^4)
= 1/2

　
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Answer 2

已知x²-3x+1=0，求分式(x⁷+7x⁴+x)/(x⁸+3x⁴+1)的值。

解：∵x²-3x+1=0，且x≠0；∴x⁶(x²-3x+1)=x⁸-3x⁷+x⁶=0，即有x⁸=3x⁷-x⁶；代入原式得：
原式=(x⁷+7x⁴+x)/(3x⁷-x⁶+3x⁴+1)..........(1)
同理x⁵(x²-3x+1)=x⁷-3x⁶+x⁵=0，故x⁷=3x⁶-x⁵，代入(1)式得：
原式=(3x⁶-x⁵+7x⁴+x)/(8x⁶-3x⁵+3x⁴+1).........(2)
x⁴(x²-3x+1)=x⁶-3x⁵+x⁴=0，故x⁶=3x⁵-x⁴，代入(2)式得：
原式=(8x⁵+4x⁴+x)/(21x⁵-5x⁴+1)...........(3)
x³(x²-3x+1)=x⁵-3x⁴+x³=0，故得x⁵=3x⁴-x³，代入(3)式得：
原式=(28x⁴-8x³+x)/(58x⁴-21x³+1)...........(4)
x²(x²-3x+1)=x⁴-3x³+x²=0，故x⁴=3x³-x²，代入(4)式得：
原式=(76x³-28x²+x)/(153x³-58x²+1)........(5)
x(x²-3x+1)=x³-3x²+x=0，故x³=3x²-x，代入(5)式得：
原式=(200x²-75x)/(401x²-153x+1)...........(6)
再由x²-3x+1=0，得x²=3x-1，代入(6)式得：
原式=(525x-200)/(1050x-400)=(21x-8)/(42x-16)=(21x-8)/[2(21x-8)]=1/2