Question

已知函数y=f（x）的图象与函数y=ax（a＞0且a≠1）的图象关于直线y=x对...

已知函数y=f（x）的图象与函数y=ax（a＞0且a≠1）的图象关于直线y=x对称，记g（x）=f（x）[f（x）+2f（2）-1]．若y=g（x）在区间[12，2]上是增函数，则实数a的取值范围是_____12] ．

Answer 1

（0，
解：∵函数y=f（x）的图象与函数y=ax（a＞0且a≠1）的图象关于直线y=x对称，
∴f（x）=logax（x＞0）．
g（x）=f（x）[f（x）+f（2）-1]=logax（logax+loga2-1）
=（logax+loga2-12）2-(loga2-1)24，
①当a＞1时，y=logax在区间[12，2]上是增函数，∴logax∈[loga12，loga2]．
由于y=g（x）在区间[12，2]上是增函数，∴1-loga22≤loga12，化为loga2≤-1，
解得a≤12，舍去．
②当0＜a＜1时，y=logax在区间[12，2]上是减函数，∴logax∈[loga2，loga12]．
由于y=g（x）在区间[12，2]上是增函数，∴1-loga22≥loga12，解得0＜a≤12．
综上可得：0＜a≤12．
故答案为：（0，12]．