Question

已知函数f（x）=x-1-xlnx，（x＞0）（Ⅰ）求函数f（x）的最大值（Ⅱ）...

已知函数f（x）=x-1-xlnx，（x＞0） （Ⅰ）求函数f（x）的最大值 （Ⅱ）设g（x）=lnxx-1（x＞1），试分析函数g（x）的单调性 （Ⅲ）利用（Ⅱ）的结论，证明：当n＞m＞0时，（1+n）m＜（1+m）n．

Answer 1

解：（Ⅰ） 由题意得f′（x）=1-（lnx+x）=-lnx
（x＞0），
当0＜x＜1时，f′（x）＞0，f（x）为增函数；
当x＞1时，f′（x）＜0，f（x）为减函数，故f（x）的最大值为f（1）=0．
（Ⅱ）由g（x）=
lnx
x-1
（x＞1），可得
g′（x）=
x-1
x
-lnx
(x-1)2
=
x-1-xlnx
x(x-1)2
，
由（Ⅰ）知：f（x）=x-1-xlnx＜0，∴g′（x）＜0，
∴g（x）在（1，+∞）上为减函数．
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，函数g（x）=
lnx
x-1
在（1，+∞）上是减函数，再根据n＞m＞1，
可得g（n+1）＜g（m+1），化简可得
ln(1+n)
n
＜
ln(m+1)
m
，
整理得ln（1+n）m＜ln（m+1）n，故有（1+n）m＜（1+m）n
．