Question

求函数z=x^2+12xy+2y^2在闭区域4x^2+y^≤25上的最值问题，怎么解方程组呢？

答案如图，请老师讲解一下这道条件极值题用拉格朗日乘法该如何解方程组呢？怎么都解不出来这个x,y的值。

Answer 1

详细过程如图请参考

追问

谢谢！

请问，我的这样的写法为何最后答案不对呢

追答

答案是对的啊，把那四组数带进去就是这两个答案

追问

不是哦，书上的正确答案不是我算的这两个，最小值对，最大值不对，书上的答案应该错了！

Answer 2

z=x^2+12xy+2y^2+λ(4x^2+y^2-25)
=(1+4λ)x^2+12xy+(2+λ)y^2-25λ,
z'x=2(1+4λ)x+12y=0,①
z'y=12x+2(2+λ)y=0,②
由②，x=-（2+λ）y/6,③
代入①，(4λ^2+9λ-34)y=0.④
4λ^2+9λ-34=0⑤时无法由④求y.
把③代入4x^2+y^2=25,得
(2+λ)^2y^2/9+y^2=25,⑥
由⑤⑥求λ，y.繁！
用配方法，得
△/4=6^2-(1+4λ)(2+λ)=0,
36-(2+9λ+4λ^2)=0,
4λ^2+9λ-34=0,
λ=(-9土√217)/8,
λ=-(9+√217)/8时z取最大值-25λ=25（9+√217）/8.
相对简单些。

Answer 3

只能按部就班去解了吧，用x表示y带入前两个式子，2个方程2个未知数。不过看着就很麻烦，平方后有好多项