Question

已知分段函数f(x)= |lnx| (0<x<e) 2-lnx(x>e), 若a,b,c互不相等，且f(a)=f(b)=f(c) ，求a+b+c取值范围

已知分段函数f(x)= |lnx| (0<x<e) 2-lnx(x>e), 若a,b,c互不相等，且f(a)=f(b)=f(c) ，求a+b+c取值范围
答案是(1/e+2e,2+e²），求解详细过程！

Answer 1

∵f(x)= |lnx| (0<x<e) 2-lnx(x>e),a,b,c互不相等，且f(a)=f(b)=f(c)

∴a∈(0,1),b∈(1,e) c∈(e,+∞)
∵lna=-lnb ∴ab=1
∵-lna=2-lnc ∴c/a=e^2 c=e^2a
a+b+c=(a+1/a+e^2a)
当a=1/e时，a+b+c取最小值：1/e+2e

当a=1时，a+b+c取最大值：2+e^2

追问

前面部分看懂了，就是不明白为什么取最小值的时候a=1/e,取最大值的时候a=1,我求导了一下 (a+b+c)的那个方程，发现好难算出它的极值点。。能详细给我解释下怎么得到最值点的a的取值吗？

追答

参看上图，对a,b,c的范围进行精确定位：1/e<=a<=1   1<=b<=e   e<=c<=e^2

不必求出极值点，只需判断增减性：

令(a+b+c)'=(a+1/a+e^2a)'=1+e^2-1/a^2>0  得 a>1/(1+e^2)  而e<e^2+1,  1/e>1/(1+e^2)

∴对于a∈[1/e,1], a+b+c关于a递增，于是

当a=1/e时，a+b+c取最小值：1/e+2e
当a=1时，a+b+c取最大值：2+e^2

是否清楚了？不清楚再问，清楚了就采纳。

Answer 2

egwqe