Question

已知函数f（x）= 1 2 x 2 +lnx．（Ⅰ）求函数f（x）在[1，e]上的最大值、最小值；（Ⅱ）求证

已知函数f（x）= 1 2 x 2 +lnx．（Ⅰ）求函数f（x）在[1，e]上的最大值、最小值；（Ⅱ）求证：在区间[1，+∞）上，函数f（x）的图象在函数g（x）= 2 3 x 3 图象的下方；（Ⅲ）求证：[f′（x）] n -f′（x n ）≥2 n -2（n∈N * ）．

Answer 1

（Ⅰ）f（x）= 1 2 x 2 +lnx   f ′ (x)=x+ 1 x ，当x∈[1，e]时，f′（x）＞0，∴f（x）在[1，e]上为增函数，∴ f(x ) min =f(1)= 1 2 ， f(x ) max =f(e)= 1 2 e 2 +1 ． （Ⅱ）设 F(x)= 1 2 x 2 +lnx- 2 3 x 3 ，则  F ′ (x)=x+ 1 x -2 x 2 = (1-x)(1+x+2 x 2 ) x ， ∵x＞1时F′（x）＜0，∴F（x）在[1，+∞）上为减函数，又F（1）=- 1 6 ＜0，故在[1，+∞）上， F（x）＜0，即 1 2 x 2 +lnx＜ 2 3 x 3 ，∴函数f（x）的图象在函数g（x）= 2 3 x 3 的图象的下方． （Ⅲ）∵x＞0，∴ [ f ′ (x) ] n - f ′ ( x n )=(x+ 1 x ) n -( x n + 1 x n ) ． 当n=1时，不等式显然成立，当n≥2时，有 [ f ′ (x) ] n - f ′ ( x n )= c 1n x n-1 1 x + c 2n x n-2 +…+ c n-1n x 1 x n-1 = c 1n x n-2 + c 2n x n-4 +…+ c n-1n 1 x n-2 = 1 2 [ c 1n ( x n-2 + 1 x n-2 )+ c 2n ( x n-4 + 1 x n-4 ) +…+ c n-1n ( 1 x n-2 + x n-2 )] ≥ 1 2 (2 c 1n +2 c 2n + …+ 2 c n-1n )= 2 n -2 =2 n -2． ∴[f′（x）] n -f′（x n ）≥2 n -2（n∈N * ）．