已知函数f(x)= 1 2 x 2 +lnx.(Ⅰ)求函数f(x)在[1,e]上的最大值、最小值;(Ⅱ)求证
已知函数f(x)=12x2+lnx.(Ⅰ)求函数f(x)在[1,e]上的最大值、最小值;(Ⅱ)求证:在区间[1,+∞)上,函数f(x)的图象在函数g(x)=23x3图象的...
已知函数f(x)= 1 2 x 2 +lnx.(Ⅰ)求函数f(x)在[1,e]上的最大值、最小值;(Ⅱ)求证:在区间[1,+∞)上,函数f(x)的图象在函数g(x)= 2 3 x 3 图象的下方;(Ⅲ)求证:[f′(x)] n -f′(x n )≥2 n -2(n∈N * ).
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(Ⅰ)f(x)= x 2 +lnx f ′ (x)=x+ ,当x∈[1,e]时,f′(x)>0,∴f(x)在[1,e]上为增函数,∴ f(x ) min =f(1)= , f(x ) max =f(e)= e 2 +1 . (Ⅱ)设 F(x)= x 2 +lnx- x 3 ,则 F ′ (x)=x+ -2 x 2 = , ∵x>1时F′(x)<0,∴F(x)在[1,+∞)上为减函数,又F(1)=- <0,故在[1,+∞)上, F(x)<0,即 x 2 +lnx< x 3 ,∴函数f(x)的图象在函数g(x)= x 3 的图象的下方. (Ⅲ)∵x>0,∴ [ f ′ (x) ] n - f ′ ( x n )=(x+ ) n -( x n + ) . 当n=1时,不等式显然成立,当n≥2时,有 [ f ′ (x) ] n - f ′ ( x n )= x n-1 + x n-2 +…+ x = x n-2 + x n-4 +…+ = [ ( x n-2 + )+ ( x n-4 + ) +…+ ( + x n-2 )] ≥ (2 +2 + …+ 2 )= 2 n -2 =2 n -2. ∴[f′(x)] n -f′(x n )≥2 n -2(n∈N * ). |
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