已知函数f(x)= 1 2 x 2 +lnx.(Ⅰ)求函数f(x)在[1,e]上的最大值、最小值;(Ⅱ)求证

已知函数f(x)=12x2+lnx.(Ⅰ)求函数f(x)在[1,e]上的最大值、最小值;(Ⅱ)求证:在区间[1,+∞)上,函数f(x)的图象在函数g(x)=23x3图象的... 已知函数f(x)= 1 2 x 2 +lnx.(Ⅰ)求函数f(x)在[1,e]上的最大值、最小值;(Ⅱ)求证:在区间[1,+∞)上,函数f(x)的图象在函数g(x)= 2 3 x 3 图象的下方;(Ⅲ)求证:[f′(x)] n -f′(x n )≥2 n -2(n∈N * ). 展开
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(Ⅰ)f(x)=
1
2
x 2 +lnx
  f (x)=x+
1
x
,当x∈[1,e]时,f′(x)>0,∴f(x)在[1,e]上为增函数,∴ f(x ) min =f(1)=
1
2
f(x ) max =f(e)=
1
2
e 2 +1

(Ⅱ)设 F(x)=
1
2
x 2 +lnx-
2
3
x 3
,则  F (x)=x+
1
x
-2 x 2 =
(1-x)(1+x+2 x 2 )
x

∵x>1时F′(x)<0,∴F(x)在[1,+∞)上为减函数,又F(1)=-
1
6
<0,故在[1,+∞)上,
F(x)<0,即
1
2
x 2 +lnx<
2
3
x 3
,∴函数f(x)的图象在函数g(x)=
2
3
x 3
的图象的下方.
(Ⅲ)∵x>0,∴ [ f (x) ] n - f ( x n )=(x+
1
x
) n -( x n +
1
x n
)

当n=1时,不等式显然成立,当n≥2时,有 [ f (x) ] n - f ( x n )=
c 1n
x n-1
1
x
+
c 2n
x n-2
+…+
c n-1n
x
1
x n-1

=
c 1n
x n-2 +
c 2n
x n-4
+…+
c n-1n
1
x n-2

=
1
2
[
c 1n
( x n-2 +
1
x n-2
)+
c 2n
( x n-4 +
1
x n-4
)
+…+
c n-1n
(
1
x n-2
+ x n-2 )]
1
2
(2
c 1n
+2
c 2n
+
…+ 2
c n-1n
)= 2 n -2
=2 n -2.
∴[f′(x)] n -f′(x n )≥2 n -2(n∈N * ).
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