Question

设f（x）是定义在R上的偶函数，对任意x∈R，都有f（x-2）=f（x+2）且当x∈[-2，0]时，f（x）=（ 1

设f（x）是定义在R上的偶函数，对任意x∈R，都有f（x-2）=f（x+2）且当x∈[-2，0]时，f（x）=（ 1 2 ） x -1，若在区间（-2，6]内关于x的方程f（x）-log a （x+2）=0（a＞1）恰有3个不同的实数根，则a的取值范围是______．

Answer 1

∵对于任意的x∈R，都有f（x-2）=f（2+x），∴函数f（x）是一个周期函数，且T=4． 又∵当x∈[-2，0]时，f（x）=（ 1 2 ） x -1，且函数f（x）是定义在R上的偶函数， 若在区间（-2，6]内关于x的方程f（x）-log a （x+2）=0恰有3个不同的实数解， 则函数y=f（x）与y=log a （x+2）在区间（-2，6]上有三个不同的交点，如下图所示： 又f（-2）=f（2）=3，则有 log a 4＜3，且log a 8＞3，解得： 3 4 ＜a＜2， 故答案为 （ 3 4 ，2）．