Question

（2008?天津）如图，在正方形ABCD中，E为AB边的中点，G、F分别为AD、BC边上的点．若AG=1，BF=2，∠GEF=90

（2008?天津）如图，在正方形ABCD中，E为AB边的中点，G、F分别为AD、BC边上的点．若AG=1，BF=2，∠GEF=90°，则GF的长为______．

Answer 1

∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A=∠B=90°，
∴∠AGE+∠AEG=90°，∠BFE+∠FEB=90°，
∵∠GEF=90°，
∴∠GEA+∠FEB=90°，
∴∠AGE=∠FEB，∠AEG=∠EFB．
∴△AEG∽△BFE，
从而推出对应边成比例：

AE

BF

＝

AG

BE

，
又∵AE=BE，
∴AE²=AG?BF=2，
推出AE=

2

（舍负），
∴GF²=GE²+EF²=AG²+AE²+BE²+BF²=1+2+2+4=9，
∴GF的长为3．
故答案为：3．