Question

已知f（x）=ax-lnx，x∈（0，e]，g（x）=lnxx，其中e是自然常数，a∈R．（1）讨论a=1时，函数f（x）的单

已知f（x）=ax-lnx，x∈（0，e]，g（x）=lnxx，其中e是自然常数，a∈R．（1）讨论a=1时，函数f（x）的单调性和极值；（2）求证：在（1）的条件下，f（x）＞g（x）+12；（3）是否存在实数a使f（x）的最小值是3？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

（1）因为f(x)＝x?lnx，f′(x)＝1?

1

x

＝

x?1

x

，所以当0＜x＜1时，f'（x）＜0，此时函数f（x）单调递减．
  当1＜x≤e时，f'（x）＞0，此时函数f（x）单调递增．所以函数f（x）的极小值为f（1）=1．
（2）因为函数f（x）的极小值为1，即函数f（x）在（0，e]上的最小值为1．
又g′(x)＝

1?lnx

x2

，所以当0＜x＜e时，=g'（x）＞0，此时g（x）单调递增．
所以g（x）的最大值为g（e）=

1

e

＜

1

2

，所以f(x)min?g(x)max＞

1

2

，所以在（1）的条件下，f（x）＞g（x）+

1

2

．
（3）假设存在实数a，使f（x）=ax-lnx，x∈（0，e]，有最小值3，则f′(x)＝a?

1

x

＝

ax?1

x

，
①当a≤0时，f'（x）＜0，f（x）在（0，e]上单调递减，f(x)min＝f(e)＝ae?1＝3，a＝

4

e

，（舍去），此时函数f（x）的最小值不是3．
②当0＜

1

a

＜e时，f（x）在（0，

1

a

]上单调递减，f（x）在（

1

a

，e]上单调递增．
所以(x)min＝f(

1

a

)＝1+lna＝3，a＝e2，满足条件．
③当

1

a

≥e时，f（x）在（0，e]上单调递减，f(x)min＝f(e)＝ae?1＝3，a＝

4

e

，（舍去），此时函数f（x）的最小值是不是3．
综上可知存在实数a=e²，使f（x）的最小值是3．

Answer 2

（1）因为f(x)＝x?lnx，f′(x)＝1?

1

x

＝

x?1

x

，所以当0＜x＜1时，f'（x）＜0，此时函数f（x）单调递减．
  当1＜x≤e时，f'（x）＞0，此时函数f（x）单调递增．所以函数f（x）的极小值为f（1）=1．
（2）因为函数f（x）的极小值为1，即函数f（x）在（0，e]上的最小值为1．
又g′(x)＝

1?lnx

x2

，所以当0＜x＜e时，=g'（x）＞0，此时g（x）单调递增．
所以g（x）的最大值为g（e）=

1

e

＜

1

2

，所以f(x)min?g(x)max＞

1

2

，所以在（1）的条件下，f（x）＞g（x）+

1

2

．
（3）假设存在实数a，使f（x）=ax-lnx，x∈（0，e]，有最小值3，则f′(x)＝a?

1

x

＝

ax?1

x

，
①当a≤0时，f'（x）＜0，f（x）在（0，e]上单调递减，f(x)min＝f(e)＝ae?1＝3，a＝

4

e

，（舍去），此时函数f（x）的最小值不是3．
②当0＜

1

a

＜e时，f（x）在（0，

1

a

]上单调递减，f（x）在（

1

a

，e]上单调递增．
所以(x)min＝f(

1

a

)＝1+lna＝3，a＝e2，满足条件．
③当

1

a

≥e时，f（x）在（0，e]上单调递减，f(x)min＝f(e)＝ae?1＝3，a＝

4

e

，（舍去），此时函数f（x）的最小值是不是3．
综上可知存在实数a=e²，使f（x）的最小值是3．