已知函数f（x）=lnx+ax2+bx（1）若曲线y=f（x），在点（1，f（1））处的切线与圆x2+y2=1相切，求b取值范
已知函数f（x）=lnx+ax2+bx（1）若曲线y=f（x），在点（1，f（1））处的切线与圆x2+y2=1相切，求b取值范围；（2）若2a+b+1=0，讨论函数的单调...
已知函数f（x）=lnx+ax2+bx（1）若曲线y=f（x），在点（1，f（1））处的切线与圆x2+y2=1相切，求b取值范围；（2）若2a+b+1=0，讨论函数的单调性；（3）证明：2+322+432+…n+1n2＞1n（n+1）（n∈N*）．
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（1）∵f′(x)＝
+2ax+b(x＞0)，∴f′（1）=1+2a+b，
其切线方程为y-（a+b）=（1+2a+b）（x-1），即（1+2a+b）x-y-1-a=0．
由切线与圆x2+y2=1相切可得
＝1
化为3a2+（2+4b）a+b2+2b+1=0，此方程有解，∴△=（2+4b）2-12（b2+2b+1）≥0，解得b≥1+
或b≤1?
．
（2）∵2a+b+1=0，∴2a=-1-b，∴f′(x)＝
?(1+b)x+b=
（x＞0）．
①b=-1时，f′(x)＝
，由f′（x）＞0解得0＜x＜1，函数f（x）单调递增；由f′（x）＜0，解得x＞1，函数f（x）单调递减．
②当-2＜b＜-1时，
＞1，由f′（x）＞0解得1＜x＜
，函数f（x）单调递增；
由f′（x）＜0，解得x＞
或0＜x＜1，函数f（x）单调递减．
③当b＜-2时，0＜
＜1，由f′（x）＞0解得
＜x＜1，函数f（x）单调递增；
由f′（x）＜0，解得x＞1或0＜x＜?
，函数f（x）单调递减．
④当b＞-1时，
＜0，由f′（x）＞0解得0＜x＜1，函数f（x）单调递增；
由f′（x）＜0，解得x＞1，函数f（x）单调递减．
（3）由（2）可知：当b=1时，当x＞1时，函数f（x）单调递减．
∴f（x）＜f（1），即lnx-x2+x＜0，令x＝1+
，可得ln(n+1)?lnn＜
| 1 |
| x |
其切线方程为y-（a+b）=（1+2a+b）（x-1），即（1+2a+b）x-y-1-a=0．
由切线与圆x2+y2=1相切可得
| |1+a| | ||
|
化为3a2+（2+4b）a+b2+2b+1=0，此方程有解，∴△=（2+4b）2-12（b2+2b+1）≥0，解得b≥1+
| 3 |
| 3 |
（2）∵2a+b+1=0，∴2a=-1-b，∴f′(x)＝
| 1 |
| x |
| ?[(1+b)x+1](x?1) |
| x |
①b=-1时，f′(x)＝
| ?(x?1) |
| x |
②当-2＜b＜-1时，
| ?1 |
| 1+b |
| ?1 |
| 1+b |
由f′（x）＜0，解得x＞
| ?1 |
| 1+b |
③当b＜-2时，0＜
| ?1 |
| 1+b |
| ?1 |
| 1+b |
由f′（x）＜0，解得x＞1或0＜x＜?
| 1 |
| 1+b |
④当b＞-1时，
| ?1 |
| 1+b |
由f′（x）＜0，解得x＞1，函数f（x）单调递减．
（3）由（2）可知：当b=1时，当x＞1时，函数f（x）单调递减．
∴f（x）＜f（1），即lnx-x2+x＜0，令x＝1+
| 1 |
| n |
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