Question

如图所示，在平面直角坐标系中，A点坐标为（-2，2）．（1）如图（1），在△ABO为等腰直角三角形，求B点坐

如图所示，在平面直角坐标系中，A点坐标为（-2，2）．（1）如图（1），在△ABO为等腰直角三角形，求B点坐标．（2）如图（1），在（1）的条件下，分别以AB和OB为边作等边△ABC和等边△OBD，连结OC，求∠COB的度数．（3）如图（2），过点A作AM⊥y轴于点M，点E为x轴正半轴上一点，K为ME延长线上一点，以MK为直角边作等腰直角三角形MKJ，∠MKJ=90°，过点A作AN⊥x轴交MJ于点N，连结EN．则①AN+OENE的值不变；②AN?OENE的值不变，其中有且只有一个结论正确，请判断出正确的结论，并加以证明和求出其值．

Answer 1

（1）如图1，作AE⊥OB于点E，
∴∠AEO=90°．
∵A（-2，2）．
∴OE=AE=2．
∵AB=AO，
∴BO=2EO=4．
∴B（-4，0）；
（2）∵△ABO为等腰直角三角形，
∴AB=AO，∠BAO=90°，∠AOB=45°．
∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC=60°，AC=AB，
∴∠CAO=150°，AC=AO，
∴∠ACO=∠AOC=15°，
∴∠COB=45°-15°=30°；
（3）

AN?OE

NE

的值不变
理由：如图2，在AN上取一点P，使AP=OE，
∵AM⊥y轴，AN⊥x轴，
∴∠AQO=∠AMO=90°．
∵∠MOQ=90°，
∴四边形AMOQ是矩形．
∵A（-2，2），
∴AQ=OQ=2，
∴四边形AMOQ是正方形，
∴∠A=∠MOE=∠AMO=90°，AM=OM．
在△APM和△OEM中，

AM＝OM ∠A＝∠MOE AP＝OE

，
∴△APM≌△OEM（SAS），
∴MP=ME，∠AMP=∠OME．
∵∠AMP+∠PMO=90°，
∴∠OME+∠PMO=90°，
即∠PME=90°．
∵△MKJ等腰直角三角形，
∴∠JMK=45°，
∴∠PMN=45°，
∴∠PMN=∠EMN．
在△PMN和△EMN中，

MP＝ME ∠PMN＝∠EMN MN＝MN

，
∴△PMN≌△EMN（SAS），
∴PN=EN．
∵PN=AN-AP，
∴PN=AN-0E，
∴AN-OE=EN．
∴

AN?OE

NE

=1