已知F是抛物线y2=2px（p＞0）的焦点，点M（4，2），P是抛物线上的任意一点，|PM|+|PF|的最小值为5．（1）
已知F是抛物线y2=2px（p＞0）的焦点，点M（4，2），P是抛物线上的任意一点，|PM|+|PF|的最小值为5．（1）求该抛物线的方程；（2）设过点F，斜率为1的直线...
已知F是抛物线y2=2px（p＞0）的焦点，点M（4，2），P是抛物线上的任意一点，|PM|+|PF|的最小值为5．（1）求该抛物线的方程；（2）设过点F，斜率为1的直线与抛物线交于A、B两点，当|PM|+|PF|取得最小值时，求：①△PAB的面积；②△AOB（O是坐标原点）外接圆的方程．
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（1）∵抛物线上的点到焦点距离=到准线的距离，
∴|PM|+|PF|=|PM|+P到准线的距离
≤M到到准线的距离
=4+
=5，
解得p=2，∴抛物线的方程y2=4x．
（2）①当|PM|+|PF|取得最小值时，
点P为过M点且垂直于准线的直线与抛物线的交点，
∴P（xP，2），∴22=4xP，解得xP=1，
∴P（1，2），
过点F（1，0）斜率为1的直线方程为y=x-1，
由
，得x2-6x+1=0，
△=36-4=32＞0，设A（x1，y1），B（x2，y2），
x1+x2=6，x1x2=1，
∴|AB|=
=8，
点P（1，2）到直线AB：y=x-1的距离d=
=
，
∴△PAB的面积S△PAB=
×
×8=4
∴|PM|+|PF|=|PM|+P到准线的距离
≤M到到准线的距离
=4+
| p |
| 2 |
解得p=2，∴抛物线的方程y2=4x．
（2）①当|PM|+|PF|取得最小值时，
点P为过M点且垂直于准线的直线与抛物线的交点，
∴P（xP，2），∴22=4xP，解得xP=1，
∴P（1，2），
过点F（1，0）斜率为1的直线方程为y=x-1，
由
|
△=36-4=32＞0，设A（x1，y1），B（x2，y2），
x1+x2=6，x1x2=1，
∴|AB|=
| (1+1)(36?4) |
点P（1，2）到直线AB：y=x-1的距离d=
| |1?2?1| | ||
|
| 2 |
∴△PAB的面积S△PAB=
| 1 |
| 2 |
| 2 |
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