Question

已知二次函数y=x2+px+q（p，q为常数，△=p2-4q＞0）的图象与x轴相交于A（x1，0），B（x2，0）两点，且A，

已知二次函数y=x2+px+q（p，q为常数，△=p2-4q＞0）的图象与x轴相交于A（x1，0），B（x2，0）两点，且A，B两点间的距离为d，例如，通过研究其中一个函数y=x2-5x+6及图象（如图），可得出表中第2行的相关数据．（1）在表内的空格中填上正确的数；（2）根据上述表内d与△的值，猜想它们之间有什么关系？再举一个符合条件的二次函数，验证你的猜想；（3）对于函数y=x2+px+q（p，q为常数，△=p2-4q＞0）证明你的猜想．聪明的小伙伴：你能再给出一种不同于（3）的正确证明吗？我们将对你的出色表现另外奖励3分． y=x2+px+q p q △ x1 x2 d y=x2-5x+6 -5 6 1 2 3 1 y=x2-12x -12 14 12 y=x2+x-2 -2 -2 3

Answer 1

（1）易得第三行q=0，x₁=0，d=

1

2

；第四行为p=1，△=9，x₂=1；

（2）猜想：d²=△．
例如：y=x²-x-2中；p=-1，q=-2，△=9；
由x²-x-2=0得x₁=2，x₂=-1，d=3，d²=9，
∴d²=△；

（3）证明．令y=0，得x²+px+q=0，
∵△＞0
设x²+px+q=0的两根为x₁，x₂，
则x₁+x₂=-p，x₁?x₂=q，
d²=（|x₁-x₂|）²=（x₁-x₂）²=（x₁+x₂）²-4x₁?x₂
=（-p）²-4q=p²-4q=△，