Question

已知等差数列{an}的公差不为零，a5=10，等比数列{bn}的前3项满足b1=a2，b2=a3，b3=a7．（Ⅰ）求数列{an}

已知等差数列{an}的公差不为零，a5=10，等比数列{bn}的前3项满足b1=a2，b2=a3，b3=a7．（Ⅰ）求数列{an}与{bn}的通项公式；（Ⅱ）设cn=1n(an+8)（n∈N*），Sn=c1+c2+…+cn，是否存在最大整数m，使对任意的n∈N*，均有bn+1?Sn＞m?2n39总成立？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（Ⅰ）由已知可设公差为的d，则有：

a1+4d＝10 (a1+2d)2＝(a1+d)(a1+6d)

，联立解得：a₁=-2，d=3，
∴a_n=3n-5，bn＝4n?1．
（Ⅱ）数列a_n=3n-5代入得cn＝

1

n(an+8)

=

1

3n(n+1)

=

1

3

（

1

n

?

1

n+1

），
故S_n=

1

3

[（1-

1

2

）+（

1

2

-

1

3

）+…+（

1

n

-

1

n+1

）]=

n

3(n+1)

   
假设存在整数m使b_n+1?S_n＞

m?2n

39

成立，即m＜

39?4n?n

2n?3(n+1)

=

13n?2n

n+1

，
记f（n）=

13n?2n

n+1

，则f（n+1）-f（n）=

13×2n(n2+6n+4)

(n+1)(n+2)

＞0，
故f（n）为单调递增，且f（n）_min=f（1）=13．
故存在最大的整数m=12，使bn?Sn＞

m?2n

39

恒成立．