Question

求证方程ax2+2x+1=0有且只有一个负数根的充要条件为a≤0或a=1

求证方程ax2+2x+1=0有且只有一个负数根的充要条件为a≤0或a=1．

Answer 1

充分性：当a=0时，方程变为2x+1=0，其根为x=?

1

2

，方程只有一个负根；
当a=1时，方程为x²+2x+1=0．其根为x=-1，
方程只有一个负根．
当a＜0时，△=4（1-a）＞0，方程有两个不相等的根，且

1

a

＜0，方程有一正一负根．
必要性：若方程ax²+2x+1=0有且仅有一个负根．
当a=0时，适合条件．
当a≠0时，方程ax²+2x+1=0有实根，
则△=4（1-a）≥0，∴a≤1，
当a=1时，方程有一个负根x=-1．
若方程有且仅有一负根，则

a＜1 1 a ＜0

∴a＜0
综上方程ax²+2x+1=0有且仅有一负根的充要条件为a≤0或a=1