Question

（2014?德州）如图，⊙O的直径AB为10cm，弦BC为5cm，D、E分别是∠ACB的平分线与⊙O，AB的交点，P为AB延长

（2014?德州）如图，⊙O的直径AB为10cm，弦BC为5cm，D、E分别是∠ACB的平分线与⊙O，AB的交点，P为AB延长线上一点，且PC=PE．（1）求AC、AD的长；（2）试判断直线PC与⊙O的位置关系，并说明理由．

Answer 1

解答：解：（1）①如图，连接BD，
∵AB是直径，
∴∠ACB=∠ADB=90°，
在Rt△ABC中，
AC=

AB2?BC2

=

102?52

=5

3

（cm），
②∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD=∠BCD，
∴

AD

＝

BD

，
∴AD=BD，
∴Rt△ABD是直角等腰三角形，
∴AD=

2

2

AB=

2

2

×10=5

2

cm；

（2）直线PC与⊙O相切，
理由：连接OC，
∵OC=OA，
∴∠CAO=∠OCA，
∵PC=PE，
∴∠PCE=∠PEC，
∵∠PEC=∠CAE+∠ACE，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACE=∠ECB，
∴∠PCB=∠CAO=∠ACO，
∵∠ACB=90°，
∴∠OCP=∠OCB+∠PCB=∠ACO+∠OCB=∠ACB=90°，
即OC⊥PC，
∴直线PC与⊙O相切．