Question

如图，四棱锥P ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠ABC=60°，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．（Ⅰ）证明：PB

如图，四棱锥P ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠ABC=60°，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．（Ⅰ）证明：PB∥平面AEC；（Ⅱ）设AD=2，PA=AB=1，求点D到平面AEC的距离．

Answer 1

解答：证明：（Ⅰ）连结BD交AC于点O，底面ABCD为平行四边形，
可得：O是BD的中点，E为PD的中点．
所以：PB∥OE
PB?平面AEC，OE?平面AEC
所以：PB∥平面AEC
（Ⅱ）由AD=2，PA=AB=1，∠ABC=60°，
利用余弦定理得：AC²=AB²+BC²-2AB?BCcos∠ABC
解得：AC=

3

因为：PA⊥平面ABCD
解得：PB=

2

利用中位线得：OE=

2

2

设：点D到平面AEC的距离h，
根据V_E-ACD=V_D-ACE
所以：

1

2

×

1

3

×

3

2

＝

1

3

×

6

4

h
解得：h=

2

2