Question

如图，在直角坐标平面中，O为坐标原点，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴的正半轴相交于点B，与y轴相交于点C

如图，在直角坐标平面中，O为坐标原点，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴的正半轴相交于点B，与y轴相交于点C（0，-3），且BO=CO．（1）求这个二次函数的解析式；（2）设这个二次函数图象的顶点为M，试判断并证明△BCM是否直角三角形．

Answer 1

（1）∵BO=CO，点B在x轴的正半轴，C（0，-3），
∴B（3，0），
∵点B、C都在抛物线上，
∴

?3＝c 0＝9+3b+c

．
∴b=-2，c=-3，
∴y=x²-2x-3；

（2）△BCM是直角三角形．
证明：∵y=x²-2x-3=（x-1）²-4，
∴M（1，-4），
∴CM²=1+1=2，BM²=（3-1）²+4²=20，BC²=3²+3²=18，
∴CM²+BC²=BM²
∴△BCM是直角三角形．