Question

求解微分方程，求大神！！第三题

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Answer 1

xyy''+(xy'-2y)y'=0
xyy''+xy'^2-2yy'=0
同除以y'^2
xyy''/y'^2+x-2y/y'=0
设y/y'=u..................1
(y'^2-y''y)/y'^2=u'
1-yy''/y'^2=u' , yy''/y'^2=1-u'..............2
将1,2式代入
xyy''/y'^2+x-2y/y'=0
得：x(1-u')+x-2u=0
x-xu'+x-2u=0
2x-xu'-2u=0
同除以x
2-u'-2/xu=0
u'+(2/x)u=2
以上代公式：u'+f(x)u=g(x)(高数下册有）:
u=e^[-ff(x)dx][fg(x)*e^[ff(x)dx]dx+C]
f f(x)dx=f2/xdx=2lnx (不用带系数）
e^[ff(x)dx]=e^(2lnx)=x^2
fg(x)*e^[ff(x)dx]dx=f 2*x^2dx=2/3x^3(不带系数）
u=e^[-ff(x)dx][fg(x)*e^[ff(x)dx]dx+C]
u=e^[-2lnx] [2/3x^3+C]
u=[2/3x^3+C]/x^2
u=2x/3+C/x^2
所以：y/y'=2x/3+C/x^2
y'/y=1/(2x/3+C/x^2)=3x^2/(2x^3+3c)
1/ydy=3x^2/(2x^3+3c)dx
d(lny)=1/2* 1/(2x^3+3c)d(2x^3+3c)
两边积分：
lny=1/2ln(2x^3+3c)+C1
y=c1根号(2x^3+3c2)

Answer 2

用“小猿题库”。。。。。。望采纳