Question

如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，平行四边形的顶点C的坐标为（8，8），顶点A的坐标为（-6，0），

如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，平行四边形的顶点C的坐标为（8，8），顶点A的坐标为（-6，0），边AB在x轴上，点E为线段AD的中点，点F在线段DC上，且横坐标为3，直线EF与y轴交于点G，有一动点P以每秒1个单位长度的速度，从点A沿折线A-B-C-F运动，当点P到达点F时停止运动，设点P运动时间为t秒。（1）求直线EF的表达式及点G的坐标；（2）点P在运动的过程中，设△EFP的面积为S（P不与F重合），试求S与t的函数关系式；（3）在运动的过程中，是否存在点P，使得△PGF为直角三角形，若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由。

Answer 1

解：（1）∵C（燃此磨8，8），DC∥x轴，点F的横坐标为3， ∴OD=CD=8 ∴点F的坐标为（3，8） ∵A（-6，0）， ∴OA=6 ∴AD=10， 过点E作EH⊥x轴皮斗于点H，则△AHE∽△AOD， 又E为AD的中点， ∴ 　 ∴AH=3，EH=4 ∴OH=3， ∴点E的坐标为（-3，4）， 设过E、F的直线为y=kx+b， ∴ 　 ∴ 　 ∴直线EF为y= x+6 令x=0，则y=6， ∴点G的坐标为（0，6）； （2）延长HE交CD的延长线于点M，则EM=EH=4， ∵DF=3， ∴S △DEF = ×3×4=6， 且S 平行四边形ABCD =CD·OD=8×8=64， ①当点P在AB上运动时， S=S 平行四边形ABCD -S △DEF -S △APE -S 四边形PBCF ， ∵AP=t，EH=4， ∴S △APE = ×4t=2t， S 四边形PBCF = （5+8-t）×8=52-4t， ∴S=64-6-2t-（52-4t），即S=2t+6， ②当点P在BC边上运动时， S=S 平行四边形ABCD -S △DEF -S △PCF -S 四边形ABPE ， 过点P作PN⊥CD于点N， ∵∠C=∠A，sin∠A= ， ∴sin∠C= ， ∵PC=18-t， ∴PN=PC·sin∠C= （18-t）， ∵CF=5， ∴S △PCF = ×5× （18-t）=36-2t， 过点B作BK⊥AD于点K， ∵AB=CD=8， ∴BK=AB·sin∠A=8× ， ∵PB=t-8， ∴S 四边形ABPE = （t-8+5）× ， ∴扒滚S=64-6-（36-2t）- ， 即S=- ， ③当点P在CF上运动时， ∵PC=t-18， ∴PF=5-（t-18）=23-t， ∵EM=4， ∴S △PEF = ×4×（23-t）=46-2t， 综上：S= ； （3）存在， ， 。