Question

设函数f（x）=ln（2x+3）+x 2 （1）讨论f（x）的单调性；（2）求f（x）在区间[- 3 4 ， 1

设函数f（x）=ln（2x+3）+x 2 （1）讨论f（x）的单调性；（2）求f（x）在区间[- 3 4 ， 1 4 ]的最大值和最小值．

Answer 1

f（x）的定义域为（- 3 2 ，+∞） （1）f′（x）= 2 2x+3 +2x= 4 x 2 +6x+2 2x+3 当- 3 2 ＜x＜-1时，f′（x）＞0； 当-1＜x＜- 1 2 时，f′（x）＜0； 当x＞- 1 2 时，f′（x）＞0 从而，f（x）在区间（- 3 2 ，-1），（- 1 2 ，+∞）上单调递增，在区间（-1，- 1 2 ）上单调递减 （2）由（1）知f（x）在区间[- 3 4 ， 1 4 ]的最小值为f（- 1 2 ）=ln2+ 1 4 又f（- 3 4 ）-f（ 1 4 ）=ln 3 2 + 9 16 -ln 7 2 - 1 16 =ln 3 7 + 1 2 = 1 2 （1-ln 49 9 ）＜0 所以f（x）在区间[- 3 4 ， 1 4 ]的最大值为f（ 1 4 ）= 1 16 +ln 7 2 ．