Question

如图，AB是⊙O的直径，PA，PC分别与⊙O 相切于点A，C，PC交AB的延长线于点D，DE⊥PO交PO的延长线于点E。

如图，AB是⊙O的直径，PA，PC分别与⊙O 相切于点A，C，PC交AB的延长线于点D，DE⊥PO交PO的延长线于点E。 （1）求证：∠EPD=∠EDO（2）若PC=6，tan∠PDA= ，求OE的长。

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Answer 1

（1）见解析（2）

解：（1）证明：∵PA，PC与⊙O分别相切于点A，C， ∴∠APO=∠EPD且PA⊥AO。∴∠PAO=90°。 ∵∠AOP=∠EOD，∠PAO=∠E=90°，∴∠APO=∠EDO。 ∴∠EPD=∠EDO。 （2）连接OC， ∵PA，PC与⊙O分别相切于点A，C，PC=6，∴PA=PC=6。 ∵tan∠PDA= ，∴在Rt△PAD中，AD=8，PD=10。 ∴CD=4。 ∵tan∠PDA= ，∴在Rt△OCD中，OC=OA=3，OD=5。 ∵∠EPD=∠DEP，∴△OED∽△DEP。 ∴ ，即DE=2OE。 在Rt△OED中， ，即 ， ∴OE= 。 （1）根据切线长定理和切线的性质即可证明：∠EPD=∠EDO；。 （2）连接OC，利用tan∠PDA= ，可求出CD=4，再证明△OED∽△DEP，根据相似三角形的性质和勾股定理即可求出OE的长。