Question

已知函数f（x）=e x +ax 2 -ex，a∈R。（1）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线平行于x轴，求函数f

已知函数f（x）=e x +ax 2 -ex，a∈R。（1）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线平行于x轴，求函数f（x）的单调区间；（2）试确定a的取值范围，使得曲线y=f（x）上存在唯一的点P，曲线在该点处的切线与曲线只有一个公共点P。

Answer 1

解：（1）求导函数，可得f′（x）=e x +2ax-e ∵曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线平行于x轴， ∴k=2a=0， ∴a=0 ∴f（x）=e x -ex， f′（x）=ex-e 令f′（x）=e x -e＜0，可得x＜1； 令f′（x）＞0，可得x＞1； ∴函数f（x）的单调减区间为（-∞，1），单调增区间为（1，+∞）。 （2）设点P（x 0 ，f（x 0 ）），曲线y=f（x）在点P处的切线方程为y=f′（x 0 ）（x-x 0 ）+f（x 0 ）令g（x）=f（x）-f′（x 0 ）（x-x 0 ）+f（x 0 ） ∵曲线在该点处的切线与曲线只有一个公共点P， ∴g（x）有唯一零点 ∵g（x 0 ）=0，g′（x）=  ①若a≥0，当x＞x 0 时，g′（x）＞0， ∴x＞x 0 时，g（x）＞g（x 0 ）=0 当x＜x 0 时，g′（x）＜0， ∴x＜x 0 时，g（x）＞g（x 0 ）=0， 故g（x）只有唯一零点x=x 0 ， 由P的任意性a≥0不合题意； ②若a＜0，令h（x）=  ，则h（x 0 ）=0， h′（x）=e x +2a 令h′（x）=0，则x=ln（-2a）， ∴x∈（-∞，ln（-2a））， h′（x）＜0，函数单调递减；x∈（ln（-2a），+∞），h′（x）＞0，函数单调递增； （i）若x 0 =ln（-2a），由x∈（-∞，ln（-2a）），g′（x）＞0； x∈（ln（-2a），+∞），g′（x）＞0， ∴g（x）在R上单调递增 ∴g（x）只有唯一零点x=x 0 ； （ii）若x 0 ＞ln（-2a），由x∈（ln（-2a），+∞），h（x）单调递增，且h（x 0 ）=0， 则当x∈（ln（-2a），x 0 ），g′（x）＜0，g（x）＞ g（x 0 ）=0 任取x 1 ∈（ln（-2a），x 0 ），g（x 1 ）＞0， ∵x∈（-∞，x 1 ）， ∴g（x）＜ax 2 +bx+c，其中b=-e+f′（x 0 ） c=   ∵a＜0， ∴必存在x 2 ＜x 1 ，使得   ∴g（x 2 ）＜0，故g（x）在（x 2 ，x 1 ）内存在零点，即g（x）在R上至少有两个零点； （iii）若x 0 ＜ln（-2a），同理利用 ，可得g（x）在R上至少有两个零点； 综上所述，a＜0，曲线y=f（x）上存在唯一的点P，曲线在该点处的切线与曲线只有一个公共点P（ln（-2a），f（ln（-2a）））。