Question

设函数f（x）=x+λx，其中常数λ＞0．（1）判断函数的奇偶性；（2）若λ=1，判断f（x）在区间[1，+∞）上

设函数f（x）=x+λx，其中常数λ＞0．（1）判断函数的奇偶性；（2）若λ=1，判断f（x）在区间[1，+∞）上的单调性，并用定义加以证明；（3）是否存在正的常数λ，使f（x）在区间（0，+∞）上单调递增？若存在，求λ的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）∵函数f（x）=x+

λ

x

的定义域{x|x≠0}关于原点对称，
且f（-x）=-x+

λ

?x

=-（x+

λ

x

）=-f（x），
故f（x）为奇函数；
（2）当λ=1时，f（x）=x+

1

x

，
则f′（x）=1-

1

x2

=

x2?1

x2

，
当x∈[1，+∞）时，f′（x）≥0恒成立，
故f（x）在区间[1，+∞）上单调递增；
（3）由函数f（x）=x+

λ

x

，
可得f′（x）=1-

λ

x2

=

x2?λ

x2

，
当x∈（0，

λ

）时，f′（x）＜0，
此时函数f（x）=x+

λ

x

为减函数，
故不存在正的常数λ，使f（x）在区间（0，+∞）上单调递增．