Question

已知一次函数y1=2x，二次函数y2=x2+1．（Ⅰ）根据表中给出的x的值，计算对应的函数值y1、y2，并填在表格

已知一次函数y1=2x，二次函数y2=x2+1．（Ⅰ）根据表中给出的x的值，计算对应的函数值y1、y2，并填在表格中： x -3 -2 -1 0 1 2 3 y1=2x y2=x2+1 （Ⅱ）观察第（Ⅰ）问表中有关的数据，证明如下结论：在实数范围内，对于x的同一个值，这两个函数所对应的函数值y1≤y2均成立；（Ⅲ）试问，是否存在二次函数y3=ax2+bx+c，其图象经过点（-5，2），且在实数范围内，对于x的同一个值，这三个函数所对应的函数值y1≤y3≤y2均成立？若存在，求出函数y3的解析式；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解答：解：（Ⅰ）

x	-3	-2	-1	0	1	2	3
y1=2x	-6	-4	-2	0	2	4	6
y2=x2+1	10	5	2	1	2	5	10

（Ⅱ）在实数范围内，对于x的同一个值y₂=x²+1=（x-1）²+2x，y₁=2x，
∵=（x-1）²≥0，
∴y₁≤y₂；

（Ⅲ）由y₁=2x，y₂=x²+1得：
y₂-y₁=x²+1-2x=（x-1）²
即当x=1时，有y₁=y₂=2．
所以（1，2）点为y₁和y₂的交点．
因为要满足y₁≤y₃≤y₂恒成立，所以y₃图象必过（1，2）点．
又因为y₃-y₁=ax²+bx+c-2x恒大于等于0，即ax²+（b-2）x+c恒大于等于0，所以二次函数ax²+（b-2）x+c必定开口向上，
即有a＞0且（b-2）²-4ac≤0，
同样有y₂-y₃=（1-a）x²-bx+（1-c）恒大于0，
有 1-a＞0 且 b²-4（1-a）（1-c）≤0，
又因为函数过（-5，2）和（1，2）两点，所以有
25a-5b+c=2 ①
a+b+c=2 ②
①-②得 b=4a，
将b=4a代入②得：c=2-5a，
代入（b-2）²-4ac≤0得，
（4a-2）²-4a（2-5a）=16a²-16a+4-8a+20a²
=36×a²-24a+4=4（3a-1）²≤0
等式成立时 a=

1

3

，
将b=4a，c=2-5a 代入b²-4（1-a）（1-c）≤0，
（4a）²-4（1-a）（1-（2-5a））=36×a²-24a+4=4（3a-1）²≤0
满足条件a=

1

3

所以y₃的解析式为y₃=

1

3

（x²+4a+1）=

1

3

x2+

4

3

x+

1

3

．