Question

已知在四边形ABCD中，∠A=∠C=90°．（1）∠ABC+∠ADC=______；（2）如图1，若DE平分∠ABC的外角，请写出

已知在四边形ABCD中，∠A=∠C=90°．（1）∠ABC+∠ADC=______；（2）如图1，若DE平分∠ABC的外角，请写出DE与BF的位置关系，并证明．（3）如图2，若BE、DE分别四等分∠ABC、∠ADC的外角（即∠CDE=14∠CDN，∠CBE=14∠CBM），试求∠E的度数．

Answer 1

解答：（1）解：∵∠A=∠C=90°，
∴∠ABC+∠ADC=360°-90°×2=180°；
故答案为：180°；

（2）解：延长DE交BF于G，
∵DE平分∠ADC，BF平分∠CBM的外角，
∴∠CDE=

1

2

∠ADC，∠CBF=

1

2

∠CBM，
又∵∠CBM=180°-∠ABC=180°-（180°-∠ADC）=∠ADC，
∴∠CDE=∠CBF，
又∵∠BED=∠CDE+∠C=∠CBF+∠BGE，
∴∠BGE=∠C=90°，
∴DG⊥BF，
即DE⊥BF；

（3）解：由（1）得：∠CDN+∠CBM=180°，
∵BE、DE分别四等分∠ABC、∠ADC的外角，
∴∠CDE+∠CBE=

1

4

×180°45°，
延长DC交BE于H，
由三角形的外角性质得，∠BHD=∠CDE+∠E，∠BCD=∠BHD+∠CBE，
∴∠BCD=∠CBE+∠CDE+∠E，
∴∠E=90°-45°=45°．