Question

已知函数f（x）=alnx+x2（a为实常数）．（1）若a=-2，求证：函数f（x）在（1，+∞）上是增函数；（2）求

已知函数f（x）=alnx+x2（a为实常数）．（1）若a=-2，求证：函数f（x）在（1，+∞）上是增函数；（2）求函数f（x）在[1，e]上的最小值及相应的x值；（3）若存在x∈[1，e]，使得f（x）≤（a+2）x成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

（1）当a=-2时，f（x）=x²-2lnx，当x∈（1，+∞），f′(x)＝

2(x2?1)

x

＞0，
（2）f′(x)＝

2x2+a

x

(x＞0)，当x∈[1，e]，2x²+a∈[a+2，a+2e²]．
若a≥-2，f'（x）在[1，e]上非负（仅当a=-2，x=1时，f'（x）=0），故函数f（x）在[1，e]上是增函数，此时[f（x）]_min=f（1）=1．　
若-2e²＜a＜-2，当x＝

?a 2

时，f'（x）=0；
当1≤x＜

?a 2

时，f'（x）＜0，此时f（x）是减函数；
 当

?a 2

＜x≤e时，f'（x）＞0，此时f（x）是增函数．
故[f（x）]_min=f(

?a 2

)=

a

2

ln(?

a

2

)?

a

2

．
若a≤-2e²，f'（x）在[1，e]上非正（仅当a=-2e²，x=e时，f'（x）=0），
故函数f（x）在[1，e]上是减函数，此时[f（x）]_min=f（e）=a+e²．
综上可知，当a≥-2时，f（x）的最小值为1，相应的x值为1；当-2e²＜a＜-2时，f（x）
的最小值为

a

2

ln(?

a

2

)?

a

2

，相应的x值为

?a 2

；当a≤-2e²时，f（x）的最小值为a+e²，
相应的x值为e．
（3）不等式f（x）≤（a+2）x，可化为a（x-lnx）≥x²-2x．
∵x∈[1，e]，∴lnx≤1≤x且等号不能同时取，所以lnx＜x，即x-lnx＞0，
因而a≥

x2?2x

x?lnx

（x∈[1，e]）
令g(x)＝

x2?2x

x?lnx

（x∈[1，e]），又g′(x)＝

(x?1)(x+2?2lnx)

(x?lnx)2

，
当x∈[1，e]时，x-1≥0，lnx≤1，x+2-2lnx＞0，
从而g'（x）≥0（仅当x=1时取等号），所以g（x）在[1，e]上为增函数，
故g（x）的最小值为g（1）=-1，所以a的取值范围是[-1，+∞）．