Question

（2006?南汇区一模）如图，已知△ABC中，AB=AC，AD⊥AB于点A，交BC边于点E，DC⊥BC于点C，与AD交于点D，

（2006?南汇区一模）如图，已知△ABC中，AB=AC，AD⊥AB于点A，交BC边于点E，DC⊥BC于点C，与AD交于点D，（1）求证：△ACE∽△ADC；（2）如果CE=1，CD=2，求AC的长．

Answer 1

（1）证明：∵∠D=90°-∠DEC=90°-∠BEA=∠B（2分）
∵AB=AC，
∴∠ACE=∠B，∴∠D=∠ACE（1分）
又∠EAC=∠CAD（公共角）（1分）
∴△ACE∽△ADC（AA）（2分）

（2）设AC=AB=x
∵

AE

AB

＝tgB＝tgD＝

1

2

∴AE＝

1

2

AB＝

1

2

x（2分）
AD＝AE+ED＝

x

2

+

5

（1分）
∵△ACE∽△ADC，∴

AC

AD

＝

EC

DC

，即AC?DC=EC?AD（2分）
所以有x?2＝1?(

x

2

+

5

)
解之得x＝

2

3

5

．（3分）