Question

计算：?zdxdy+xdydz+ydxdz，其中∑为柱面x2+y2=1被平面z=0及z=3所截部分的外侧

计算：?zdxdy+xdydz+ydxdz，其中∑为柱面x2+y2=1被平面z=0及z=3所截部分的外侧．

Answer 1

求解这个二重积分的过程中，首先要求出内层积分，也就是粉红色波浪线划出的那个定积分。至于求这个定积分：

查找∫√(1-x^2)dx的积分公式得到原函数，然后代入上下限求解。注意到∫<0,1>√(1-x^2)dx恰好表示上半圆的面积，所以直接根据几何意义心算结果即可，也就是原图中采用的方法。

扩展资料：

是函数f（x）的一个原函数，我们把函数f（x）的所有原函数F（x）+C（C为任意常数）叫做函数f（x）的不定积分，记作，即∫f（x）dx=F（x）+C.其中∫叫做积分号，f（x）叫做被积函数，x叫做积分变量，f（x）dx叫做被积式，C叫做积分常数，求已知函数不定积分的过程叫做对这个函数进行积分。

注：∫f（x）dx+c1=∫f（x）dx+c2, 不能推出c1=c2。

参考资料来源：百度百科-积分公式

Answer 2

补充∑1：

x2+y2≤1 z＝0

的下侧，∑2：

x2+y2≤1 z＝3

的上侧．
设Ω={（x，y，z）|x²+y²≤1，0≤z≤3}，
利用高斯公式可得，

?

∑+∑1+∑2

zdxdy+xdydz+ydxdz
=3

?

Ω

dxdydz
=9π．
又因为

?

∑1

zdxdy+xdyz+ydxdz=0，

?

∑2

zdxdy+xdydz+ydxdz=3

?

x2+y2≤1

dxdy=3π，
所以，

?

zdxdy+xdydz+ydxdz=9π-3π=6π．

Answer 3

简单分析一下，详情如图所示