Question

曲线C是平面内到直线l1：x=-1和直线l2：y=1的距离之积等于常数k2（k＞0）的点的轨迹．给出下列四个结论：

曲线C是平面内到直线l1：x=-1和直线l2：y=1的距离之积等于常数k2（k＞0）的点的轨迹．给出下列四个结论：①曲线C过点（-1，1）；②曲线C关于点（-1，1）对称；③若点P在曲线C上，点A，B分别在直线l1，l2上，则|PA|+|PB|不小于2k；④设p1为曲线C上任意一点，则点P1关于直线x=-1、点（-1，1）及直线y=1对称的点分别为P1、P2、P3，则四边形P0P1P2P3的面积为定值4k2．其中，所有正确结论的序号是______．

Answer 1

由题意设动点坐标为（x，y），则利用题意及点到直线间的距离公式的得：|x+1||y-1|=k²，
对于①，将（-1，1）代入验证，此方程不过此点，所以①错；
对于②，把方程中的x被-2-x代换，y被2-y 代换，方程不变，故此曲线关于（-1，1）对称．②正确；
对于③，由题意知点P在曲线C上，点A，B分别在直线l₁，l₂上，则|PA|≥|x+1|，|PB|≥|y-1|
∴|PA|+|PB|≥2

|PA||PB|

=2k，③正确；
对于④，由题意知点P在曲线C上，根据对称性，
则四边形P₀P₁P₂P₃的面积=2|x+1|×2|y-1|=4|x+1||y-1|=4k²．所以④正确．
故答案为：②③④．