Question

设X1，X2，…，Xn（n＞2）为来自总体N（0，σ2）的简单随机样本，.X为样本均值，记Yi＝Xi?.X，i＝1，2，

设X1，X2，…，Xn（n＞2）为来自总体N（0，σ2）的简单随机样本，.X为样本均值，记Yi＝Xi?.X，i＝1，2，…，n．求：（Ⅰ） Yi的方差DYi，i=1，2，…，n；（Ⅱ）Y1与Yn的协方差Cov（Y1，Yn）．（Ⅲ）P{Y1+Yn≤0}．

Answer 1

由题设，知X₁，X₂，…，X_n（n＞2）相互独立，且EXi＝0，DXi＝σ2(i＝1，2，…，n)，E

.

X

＝0．
（I）DYi＝D(Xi?

.

X

)＝D[(1?

1

n

)Xi?

1

n

n

j≠i

Xj]
=(1?

1

n

)2DXi+

1

n2

n

j≠i

DXj
=

(n?1)2

n2

σ2+

1

n2

?(n?1)σ2＝

n?1

n

σ2．
（ II）  Cov（Y₁，Y_n）=E[（Y₁-EY₁）（Y_n-EY_n）]
=E(Y1Yn)＝E[(X1?

.

X

)(Xn?

.

X

)]
=E(X1Xn?X1

.

X

?Xn

.

X

+

.

X

2)
=E(X1Xn)?2E(X1

.

X

)+E

.

X

2
=0?

2

n

E[

X

2 1

+

n

j＝2

X1Xj]+D

.

X

+(E

.

X

)2
=?

2

n

σ2+

1

n

σ2＝?

1

n

σ2．
（ III）  Y1+Yn＝X1?

.

X

+Xn?

.

X

=

n?2

n

X1?

2

n

n?1

i＝2

Xi+

n?2

n

Xn，
上式是相互独立的正态随机变量的线性组合，所以Y₁+Y_n服从正态分布，
由于E（Y₁+Y_n）=0，
故 P{Y₁+Y_n≤0}=

1

2

．

Answer 2

简单计算一下即可，答案如图所示