Question

如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，过点O作EF ∥ BC交AB于E，交AC于F，过点O作OD⊥AC于D

如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，过点O作EF ∥ BC交AB于E，交AC于F，过点O作OD⊥AC于D．下列四个结论：①EF是△ABC的中位线．②以E为圆心、BE为半径的圆与以F为圆心、CF为半径的圆外切；③设OD=m，AE+AF=2n，则S △AEF =mn；④∠BOC=90°+ 1 2 ∠A；其中正确的结论是______．

Answer 1

①∵EF ∥ BC， ∴∠BOE=∠CBO，∠COF=∠BCO， 又，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O， ∴∠EBO=∠CBO，∠FCO=∠BCO， ∴∠EBO=∠BOE，∠FCO=∠COF， ∴EB=EO，FC=FO， 假设EF是△ABC的中位线，则EA=EB，FA=FC， ∴EO=EA，FO=FA， ∴EA+FA=EO+FO=EF， 推出在△AEF中两边之和等于第三边，不成立，所以①结论不正确． ②由①得EB=EO，FC=FO， 即EO，FO分别为两圆的半径，又EF=EO+FO，所以两圆外切， 所以②正确． ③连接AO，过O作OG⊥AB于G， 由，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O， 得：OG=OD=m， 所以三角形AEF的面积=三角形AOE的面积+三角形AOF的面积 = 1 2 ?AE?OG+ 1 2 ?AF?OD= 1 2 （AE?m+AF?m）= 1 2 m（AE+AF） = 1 2 m?2n=mn． 所以③正确． ④由，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O得： ∠CBO= 1 2 ∠ABC，∠BCO= 1 2 ∠ACB， ∠BOC=180°-（∠CBO+∠BCO） =180°- 1 2 （∠ABC+∠ACB） =180°- 1 2 （180°-∠A） =90°+ 1 2 ∠A． 所以④正确． 故答案为：②③④．