Question

如图，已知圆O的直径AB长度为4，点D为线段AB上一点，且 AD= 1 3 DB ，点C为圆O上一点，且 BC=

如图，已知圆O的直径AB长度为4，点D为线段AB上一点，且 AD= 1 3 DB ，点C为圆O上一点，且 BC= 3 AC ．点P在圆O所在平面上的正投影为点D，PD=BD．（Ⅰ）求证：CD⊥平面PAB；（Ⅱ）求PD与平面PBC所成的角的正弦值．

Answer 1

（Ⅰ）证明：连接CO，由3AD=DB知，点D为AO的中点， 又∵AB为圆O的直径，∴AC⊥CB， 由 3 AC=BC 知，∠CAB=60°， ∴△ACO为等边三角形，从而CD⊥AO． ∵点P在圆O所在平面上的正投影为点D， ∴PD⊥平面ABC，又CD?平面ABC， ∴PD⊥CD， 由PD∩AO=D得，CD⊥平面PAB． （Ⅱ）由（Ⅰ）可知CD= 3 ，PD=DB=3， 过点D作DE⊥CB，垂足为E，连接PE，再过点D作DF⊥PE，垂足为F． ∵PD⊥平面ABC，又CB?平面ABC， ∴PD⊥CB，又PD∩DE=D， ∴CB⊥平面PDE，又DF?平面PDE， ∴CB⊥DF，又CB∩PE=E， ∴DF⊥平面PBC，故∠DPF为所求的线面角． 在Rt△DEB中，DE=DBsin30°= 3 2 ， PE= P D 2 +D E 2 = 3 5 2 ， sin∠DPF=sin∠DPE= DE PE = 5 5 ．