Question

如图，在直角梯形ABCD中，DC ∥ AB，∠ADC=90°，AB=3a，CD=2a，AD=2，点E、F分别是腰AD、 BC上的动点，

如图，在直角梯形ABCD中，DC ∥ AB，∠ADC=90°，AB=3a，CD=2a，AD=2，点E、F分别是腰AD、 BC上的动点，点G在AB上，且四边形AEFG是矩形．设FG=x，矩形AEFG的面积为y．（1）求y与x之间的函数关式，并写出自变量x的取值范围；（2）在腰BC上求一点F，使梯形ABCD的面积是矩形AEFG的面积的2倍，并求出此时BF的长；（3）当∠ABC=60°时，矩形AEFG能否为正方形？若能，求出其边长；若不能，请说明理由．

Answer 1

（1）过C作CH⊥AB于H． 在直角梯形ABCD中，DC ∥ AB，∠ADC=90°， ∴四边形ADCH为矩形． ∴CH=AD=2，BH=AB-CD=3a-2a=a． 在Rt△BCH中，tanB= CH BH = 2 a ． ∵四边形AEFG是矩形，∴∠FGA=90°=∠FGB，且FG=x． ∴在Rt△FGB中，tanB= FG BG = x BG ． ∴ 2 a = x BG ，即BG= a 2 x，∴AG=3a-0.5ax． ∵S 矩形AEFG =FG×AG， ∴y=x（3a- a 2 x）=- a 2 x 2 +3ax（0＜x≤2）．…（4分） （2）∵S 梯形ABCD = 1 2 （AB+CD）×AD= 1 2 （3a+2a）×2=5a， 令2（- a 2 x 2 +3ax）=5a，解得x 1 =1，x 2 =5． ∵0＜x≤2，∴x=5（舍去）． ∴x=1，此时F为BC中点． ∴BF= 1 2 BC= 1 2 CH 2 + BH 2 = 1 2 4+ a 2 ．…（3分） （3）矩形AEFG不能成为正方形． 假设矩形AEFG能成为正方形，则有FG=AG． ∴x=3a- a 2 x． ∵∠ABC=60°，则tanB= 2 a = 3 ，∴a= 2 3 3 ． ∴x= 3a 1+ a 2 = 3 3 -3＞2． 又∵0＜x≤2，∴矩形BEFG不能成为正方形．…（3分）