Question

sinx+cosx分之一的不定积分是什么?

Answer 1

∫dx/sinxcosx=ln|tanx|+C。C为积分常数。

令u＝tanx/2

则sinx＝2u/(1＋u²)

cosx＝(1－u²)/(1＋u²)

dx＝2du/(1＋u²)

∫1/(sinx＋cosx)

＝∫2/(1＋2u－u²)du

＝√2/2∫［1/(u－(1－√2))－1/(u－(1＋√2))］du

＝√2/2ln|(u－(1－√2))/(u－(1＋√2))|＋C

＝√2/2ln|(tanx/2－1＋√2)/(tanx/2－1－√2)＋C

解释

根据牛顿-莱布尼茨公式，许多函数的定积分的计算就可以简便地通过求不定积分来进行。这里要注意不定积分与定积分之间的关系：定积分是一个数，而不定积分是一个表达式，它们仅仅是数学上有一个计算关系。

一个函数，可以存在不定积分，而不存在定积分，也可以存在定积分，而没有不定积分。连续函数，一定存在定积分和不定积分；若在有限区间[a,b]上只有有限个间断点且函数有界，则定积分存在；若有跳跃、可去、无穷间断点，则原函数一定不存在，即不定积分一定不存在。