Question

莱布尼茨交错级数判别法有哪些?

Answer 1

莱布尼茨交错级数判别法：

(1)数列{un}单调递减。

(2)数列un收敛于0，即当n趋于正无穷大时，limun=0。这里默认数列{un}的每项都是正数。而交错级数则是级数各项符号正负间的，即u1-u2+u3-u4+…+(-1)^(n+1)un+….。

当n趋于正无穷大时，limun=0，因此奇数项数列和偶数项数列的对应项的差S_(2m-1)-S_(2m)=u_(2m)>0，在m趋于正无穷大时，这个差趋于0。

这样在{[S_(2m),S_(2m-1)]}之间就形成了一个区间套。由区间套定理就可以知道，一定存在唯一的一个数S，使得当m趋于正无穷大时，limS_(2m-1)=limS_(2m)=S. 即数列{Sn}收敛于S，也就是说该交错级数是收敛的。

注意事项：

莱布尼茨判别法只是交错级数收敛的充分条件，并不是必要条件，这个很好说明，只要把一个符号莱布尼茨判别法的交错数列的第三项增大到比第一项还大，只要是一个具体的值，则得到的新的交错级数仍是一个收敛级数，但它却不满足莱布尼茨判别法的条件了。